Elk item op deze pagina werd met de hand geplukt door een redacteur van House Beautiful. We kunnen commissie verdienen op sommige van de items die u kiest om te kopen.
Er gaat niets boven een gekmakend wiskundeprobleem, geestverruimende optische illusieof bochtige logische puzzel om alle productiviteit in de te stoppen Populaire mechanica kantoor. We zijn van nature nieuwsgierige mensen, maar we delen ook collectief een koppige aandrang die we zijn juist, verdomme, en dus hebben we de neiging om werk aan de kant te gooien wanneer we een probleem tegenkomen met verschillende schijnbaar mogelijke oplossingen.
Deze driehoekige hersenkraker is niet nieuw - schreeuw naar PopSugar voor opgraven een paar jaar geleden - maar op basis van wat duistere internetmagie, verscheen de onderstaande tweet vandaag opnieuw in mijn feed en startte hij een nieuw debat over onze medewerkers Slack channel, een plek die traditioneel gereserveerd is voor workshopideeën, maar in plaats daarvan meestal gebruikt om te schreeuwen over andere dingen die we af en toe veranderen in inhoud.
Zeggen? pic.twitter.com/lrhXrWw5EP
- J (@jiteshpillaai) 9 april 2018
Omdat ik een masochist ben, heb ik de driehoek opnieuw getekend en iedereen aan het personeel gevraagd onmiddellijk te laten zien wat ze aan het doen waren en de eenvoudige vraag proberen op te lossen: hoeveel driehoeken kun je vinden?
Ik zal je het volledige gesprek besparen - geloof me, niemand wil dat zien - maar de antwoorden van het team liepen overal uiteen. Sommige editors zagen vier driehoeken. Anderen zagen 12. Een paar zagen 6, 16, 22. Nog meer zag 18. Een wiseguy telde de driehoeken in de A's in de vraag zelf, terwijl een andere een existentieel leek te hebben crisis: "Geen van deze lijnen zijn echt recht, alleen krommen - dus je kunt ze niet als een driehoek definiëren," zei hij zei. “Er zijn geen driehoeken op deze foto. Het leven heeft geen betekenis. '
Vervolgens hebben we het probleem voorgelegd aan onze Instagram-volgers, van wie de antwoorden ook het gamma bestonden, van 5 tot 14 tot 37. Hoewel we de grote kans op trollen erkennen, is het duidelijk dat mensen op verschillende manieren op het probleem reageren.
Bekijk dit bericht op Instagram
Stop alsjeblieft met wat je doet en help ons een debat op te lossen dat we op kantoor hebben. Hoeveel driehoeken zie je hier?
Een bericht gedeeld door Popular Mechanics Magazine (@popularmechanics) op
Ik had kunnen luisteren naar mijn collega's die de hele dag hun dubieuze processen uitlegden, maar in plaats daarvan stak ik contact op met verschillende geometrie-experts om te zien of we tot een consensusantwoord konden komen. Het blijkt dat vrijwel alle wiskundigen die ik heb gecontacteerd dezelfde oplossing hebben gevonden, maar niet allemaal hebben ze het op dezelfde manier gevonden.
Als je het antwoord nog niet wilt weten, stop dan met lezen en probeer het probleem eerst op te lossen. Ik zie je hier terug als je klaar bent.
Hé, dat was snel. Klaar voor het antwoord? In tegenstelling tot sommigen virale wiskundige problemen die opzettelijk vaag zijn en open voor interpretatie, deze heeft eigenlijk een slam-dunk, geen twijfel over mogelijk, en het is 18. Laten we van enkele geometrie-experts horen waarom.
"Ik zou dit benaderen net zoals iemand elk wiskundig probleem benadert: verminder het en vind structuur", zegt Sylvester Eriksson-Bique, Ph. D., een postdoc met de wiskunde van de Universiteit van Californië in Los Angeles afdeling.
De enige manier om driehoeken te vormen in de figuur die ik heb getekend, zegt Erikkson-Bisque, is als het bovenste hoekpunt (hoek) deel uitmaakt van de driehoek. De basis van de driehoek moet dan een van de drie niveaus hieronder zijn. “Er zijn drie niveaus, en op elk kun je een basis kiezen uit zes verschillende manieren. Dit geeft 18 of 3 keer 6 driehoeken. ”
Laten we nog een keer naar de hoofddriehoek kijken.
Andrew Daniels
“Het is handig om te generaliseren naar het geval dat er zijn n lijnen die door het bovenste hoekpunt gaan, en p horizontale lijnen ”, zegt Francis Bonahon, Ph. D., een professor in de wiskunde aan de Universiteit van Zuid-Californië.
In ons geval, n = 4 en p = 3. Elke driehoek die we in de tekening vinden, moet een bovenste hoekpunt hebben en twee andere op dezelfde horizontale lijn, dus voor elke horizontale lijn, het aantal driehoeken met twee hoekpunten op die lijn is gelijk aan het aantal manieren waarop we deze hoekpunten kunnen kiezen, zegt Bonahon - namelijk het aantal manieren waarop we twee verschillende punten kunnen kiezen uit nof 'n kies 2. "
Denk aan wiskunde op de middelbare school? dat is n(n-1)/2. En aangezien er zijn p horizontale lijnen, zegt Bonahan, dit geeft p n(n-1) / 2 mogelijke driehoeken. In ons geval is dat 3x4 (4-1) / 2 = 18.
Hier is een handig overzicht van hoe u elke mogelijke driehoek kunt vinden:
Kory Kennedy
Johanna Mangahas, Ph. D., een assistent wiskunde professor aan de Universiteit van Buffalo, kwam ook op 18 - eerst door eenvoudig brute-force tellen, daarna door dezelfde sluwe combinatoriek zoals hierboven, maar geeft toe dat onze driehoekstrekker niet zo cool is als deze van Po-Shen Loh, Ph. D., een wiskundeprofessor aan de Carnegie Mellon University in Pittsburgh, as te zien in de New York Timesafgelopen jaar:
Po-Shen Loh
Deze heeft een wiskundig wiskundig antwoord, zegt ze, want hier is het tellen van driehoeken hetzelfde als het tellen van combinaties van drie lijnen gekozen uit zes [6-kies-3 = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1)].
"In dat geval kruist elk paar lijnen en zijn er geen drievoudige of meer kruispunten, dus elke keuze uit drie geeft altijd een driehoek", zegt Mangahas. Op de foto die ik haar stuurde, zijn sommige lijnen parallel, dus ze kunnen geen deel uitmaken van dezelfde driehoek. "Als je dezelfde zeven regels zou nemen en ze een beetje door elkaar schudde, dan waren ze waarschijnlijk land als het probleem van [Loh] en je zou meer driehoeken en een soortgelijk schattig antwoord hebben. ”(Voor de goede orde: 35.)
Oef. Ik heb dit nieuwe driehoeksprobleem nog niet met mijn collega's gedeeld. Maar het is slechts een kwestie van tijd voordat ze het ontdekken - en wat meer argumenteren.
🚨BELANGRIJKE UPDATE 1/30/20🚨: Sinds het publiceren van dit verhaal, veel lezers hebben contact opgenomen om me te laten weten dat hoewel 18 inderdaad een acceptabel antwoord op dit probleem is, dit niet het geval is enkel en alleen een, vanwege wat onbedoeld toezicht van mijn kant. Ik had dit veel gemakkelijker kunnen maken voor lezers - en, cruciaal, veel gemakkelijker in mijn inbox - als ik de driehoek net op gewoon, wit computerpapier had geschetst. Maar nee.
Ik heb deze driehoek helaas op gelinieerd papier getekend en veel slimme mensen hebben er terecht op gewezen dat werkelijk, als u de lichtblauwe parallelle lijnen in de afbeelding telt, naast de donkerblauwe lijnen die in de marker zijn geschreven, zijn er hier in feite meer dan 18 totale driehoeken - aanzienlijk meer. Ik heb nooit gespecificeerd om alleen die donkerblauwe lijnen te gebruiken, en dus heb ik het mis. Je hebt gelijk.
Een lezer, Ralph Linsangan, bezat me volledig door deze afbeelding te verzenden, waarin hij elke extra driehoek markeert die onder de technische details is gevonden, en 17 extra driehoeken markeerde voor een totaal van 35. Zie:
Dat soort toewijding is slechts een van de vele redenen waar ik van hou Populaire mechanica lezers. We kunnen niets langs jullie heen krijgen. Tot de volgende teaser!
🚨NOG EEN ANDERE TRIANGEL-UPDATE 1/31 / 20🚨: Sinds ik de laatste update heb gepost, heb ik van even gehoord meer van jou, blijven mij berispen - en je medelezers - voor het niet overwegen van extra mogelijke driehoeken. Laten we het horen van lezer Derek Schneider, die een andere afbeelding heeft ingestuurd met de suggestie dat er 45 driehoeken zijn.
Als we echter de oorspronkelijke regels volgen, tel ik en nog eens 9 die definitief zijn (in het groen) en één die zou kunnen sta open voor interpretatie, afhankelijk van hoe je het bovenste hoekpunt visueel plaatst (in paars)... Ik zou persoonlijk tellen het.
Derek Schneider
Reader Poingly schreef ondertussen in om te zeggen dat we een "ernstige fout" hebben gemaakt bij het tellen van de driehoeken al die tijd:
Neem de rechteronderhoek, het toont bijvoorbeeld een pijl voor een driehoek. Het is echter denkbaar dat deze lichtblauwe lijnen in deze ene hoek alleen DRIE driehoeken kunnen vormen:
Poingly
Hoewel sommige hiervan enigszins discutabel kunnen zijn (dwz waar PRECIES de lichtblauwe lijnen de donkere kruisen en doen ze vormen technisch een driehoek of een vierhoek), ik heb ZEVEN AANVULLENDE driehoeken geteld die in deze manier. Dit brengt het totale aantal driehoeken op 42.
Het slechte nieuws is dat we enkele driehoeken hebben gemist. Het goede nieuws is dat dit bevestigt dat het leven duidelijk betekenis heeft, zoals blijkt uit het exacte aantal: 42.
Uitstekend punt, Poingly. Lezer James Goodrich ging nog een stap verder en suggereerde dat we onze geest openen om te overwegen wat een driehoek zou kunnen zijn:
Nou, volgens je lezer, die op 17 extra driehoeken wees (met de "Andrew niet specificeer welke lijnen de 3 randen van een driehoek "clausule kunnen omvatten), kon er duidelijk niet veel vinden meer. Neem bijvoorbeeld de minidriehoek linksonder in het addendum "Belangrijke update" van 30 januari 2020. Zouden de gebieden van de minidriehoek en het aangrenzende gebied van de ruit niet samen een andere driehoek vormen?
Een ander idee ter overweging: driehoeken hebben 3 hoeken (wie had het geraden?); ik zou echter postuleren dat hoe je een driehoek beschrijft, door middel van genoemde hoeken, verschillende driehoeken zou genereren. Gegeven een driehoek T, met hoekpunten A, B en C, kan t-one inderdaad worden beschreven door ABC, met B als de centrale hoek. Ik stel voor dat t-two, beschreven door BAC, anders is. Evenzo voor BCA.
Als we dan een specifiek geval nemen, rechthoekige driehoeken, kunnen we sinus-, cosinus- en tangensfuncties (SOH, CAH, TOA) afleiden. Als we dat op de driehoek zouden toepassen (en de eis van de rechte hoek versoepelen, zou dit kunnen betekenen dat BAC anders is dan CAB. Natuurlijk worden uitzonderingen gemaakt voor isoscolese en gelijkzijdige driehoeken (de laatste zou slechts 3 verschillende driehoekdefinities hebben).
Ik heb nog niet goed nagedacht over hoe elke suggestie te kwantificeren (en het toepassen van het laatste op het eerste zou het aantal verhogen nog steeds), dus ik heb geen gemakkelijk nummer dat je kunt gebruiken in een bijgewerkte belangrijke update (als je mijn ideeën de moeite waard vond bijwerken).
Dat deed ik, James. En ik zal wachten. Met tegenzin besloot ik nog een laatste poging te wagen om uit te zoeken hoeveel extra driehoeken er aan onze nieuwe chaotische regels konden worden gegeven, en kwam uit op 43, voor een totaal van 61:
Andrew Daniels
Ik ben er echter vrij zeker van dat iemand die dit leest me heel snel zal vertellen dat ik het weer mis heb en bewijs kan leveren van nog meer verborgen driehoeken, die me een ander konijnenhol op het lange en kronkelende pad naar uiteindelijk sturen krankzinnigheid. (Opmerking: ik heb mijn vrouw in drie dagen niet gezien. Vertel haar alsjeblieft dat ik van haar hou.) Dus ik ga een laatste uitdaging aan: Als je de meest mogelijke driehoeken in de originele afbeelding kunt vinden, laat me je werk zien en bewijs het definitief uwe suprematie, ik zal dit verhaal nog een laatste keer bijwerken en u nu en dan tot de Driehoekskoningin of -koningin kronen voor altijd. Godspeed.
SpeedRipper Rubik's Cube
$12.45
De kubus van de Rubik maakt mensen al 40 jaar gek. Probeer het zelf uit te zoeken, of leer hoe het op te lossen wiskunde gebruiken.
Kanoodle 3-D puzzelspel
$8.79
Met slechts 12 stukjes maar 200 totale uitdagingen, zal Kanoodle zowel kinderen als volwassenen stomp maken met 2D- en 3D-puzzels.
Sagrada bordspel
$29.98
In een van de beste puzzels bordspellen van het jaar, jij en maximaal drie andere spelers proberen de glas-in-loodramen van de Sagrada Familia te maken.
Dimension 3-D puzzelspel
$40.97
Dit snelle 3D-puzzelspel omvat een combinatie van snel denken, logica en geluk om je bollen op elkaar te stapelen om de meeste punten te verdienen.
Van:Populaire mechanica